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A德摩根实际上已经证明了四色定理

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发表于 2017-6-12 18:43:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wxmwrk 于 2017-7-4 08:07 编辑


摘要:

1,德摩根企图证明四色定理,他证明了平面地图染色当且仅当无法构造需要5种颜色的 5 个两两相连的区域,4种颜色就够了,若p则q。
(暗含如果证明不能构造需要4种颜色染色的4个两两相连区域,那么,3种颜色就够了,若p’则q’。但是,这个暗含的“漏洞”无法发生在2维平面上,因为,我们可以在平面是构造一个有4个两两相连区域,见图一)。

2,否定德摩根的理由是一种间接类比反驳,反驳的不是德摩根正面的理由,p则q。
而是反驳并不存在的暗含的漏洞:p’则q’,图二在平面上可以没有4个两两相连区域,依然需要4种颜色,3种颜色不够。p’则非q’。
3,类比反驳成功的标志是,构造与对方论题或者论据相矛盾的正确例子,以表明两种事物不能同真。如果要成功否定德摩根的理论,只有一条标准,就是:构造一个不用5个区域两两相连的图形,依然需要5种颜色染色。而不是攻击根本就不存在的假定。
关键词:颜色;区域;两两相连

一,Augustus De Morgan 的想法

第1,平面或者球面染色需要4种颜色,并且轻而易举构造了4个区域两两相连。
A 德摩根是对四色定理理论有贡献的第一人。他是伦敦大学的教授(1806-1871),图一是说平面上 4 个区域需要 4 种颜色,因为图一是4个区域两两相连,等价于需要4种颜色才能区别4个区域。
第2,证明了平面上不能存在五个区域两两相连(当时的话叫做:5个国家不能每一个都和其余相邻)。下面是 A 德摩根的证明,不能在平面上构造一个有5个两两相连区域(供参考):

DSC06691_看图王.jpg DSC06693_看图王.jpg


二,反驳者的理由

下面的图二是反驳者推翻 A 德摩根四色定理不一定能成立的逻辑:

图二是在图一的基础上加入两个区域,图二的 6 个国家(区域)中 A,B,C,D,E,F 没有哪 4 个是两两相连的,然而仍需要 4 种颜色(数字代表颜色编号),外围的需要 3 种,中间的需要 4 种。
170610jzm01.JPG

DSC06688_看图王.jpg
DSC06690_看图王.jpg






三,为什么否定德摩根的理由不能成立

首先,反驳者没有从属性上推翻需要4种颜色。图一表明平面需要4种颜色。反驳者的图二也是肯定需要4种颜色。就是说,反驳者与肯定者是一致的。
其次,反驳者没有通过类比方法否定德摩根的“当且仅当可以构造5个两两相连区域,则需要5种颜色
而是去否定一个不存在的暗含的理由“如果不能构造需要4种颜色染色的4个两两相连区域,那么,3种颜色就够了”但是暗含的理由是根本不存在的。不能否定一个不存在的东西。因为,世界上根本无法在小于2维的几何上去构造一个:有3个两两相连区域,而不能构造4个两两相连区域。

可以肯定说,德摩根已经证明了四色定理。他被误解了 150 年。
参考文献:【今日数学】第二部分,四色问题。K阿佩尔;w黑肯


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