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已有 55 次阅读2018-8-28 17:30 |系统分类:科普作品

三胞胎素数

三胞胎素数

一,定义

正如孪生素数是指差等于2的两个素数,三胞胎素数是指三个连续素数,使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上,除了最小的两组三胞胎素数:(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7),其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外,三胞胎素数分为两类:

A类三胞胎素数,构成为p,p+2,p+6,相差2的两个孪生素数在前面,例如:(5,7,11);(11,13,17); (17,19,23);等等。

B类三胞胎素数,构成为p,p+4,p+6,相差2的两个孪生素数在后面,例如:(7,11,13);(13,17,19);(37,41,43);等等。

当素数p 大于3时,可以证明形同p,p+2,p+4的数组不可能是三胞胎素数[1]。事实上,这三个数对3的模两两不同,所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大,因此一定有一个是3的倍数,从而这个数不是素数。

 在数论中,三胞胎素数(也称为三生素数)是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数,它的名字也正是由此而来。

 二,公式

(一)A类三胞胎素数

为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数,可以利用一下的定理:“若自然数A-2, A, A+4都不能被不大于.sqrt{A+4}的任何素数整除,则A-2, AA+4都是素数”。

这个定理的证明用到一个简单的定理:這是因为一个自然数是素数当且仅当它不能被任何小于等于的素數整除。

考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前k 个素数p_{1},p_{2},.dots,p_{k}。解方程:

A=p_{1}m_{1}+g_{1}=p_{2}m_{2}+g_{2}=.dots=p_{k}m_{k}+g_{k} .qquad .qquad .cdots .quad (1)

其中g_{i} .neq 0g_{i} .neq 2g_{i} .neq p_{i}-4(保证A-2, A, A+4都不能被任一个素数整除),1 .le g_{i} .le p_{i} - 1

如果解出<img alt="A,则A-2,AA+4是一组三胞胎素数。

我们可以把(1)式内容等价转换成为同余方程组表示:

A .equiv g_1 .pmod{p_1}, .  A .equiv g_2 .pmod{p_2}, .  .cdots,.  A .equiv g_k .pmod{p_k} .qquad .qquad .cdots .quad (2)

由于(2)式的模p_{1}p_{2}、……、p_{k} 是素数,两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的g_{1}, g_{2}, .cdots , g_{k},(2)式在p_{1} p_{2} .cdots p_{k}范围内有唯一解。

A类三胞胎素数的例子

例如k=2时,A=2m_{1}+1=3m_{2}+1,解得A=7, 13, 19。这三个素数都满足<img alt="A的条件:<img alt="7, 13, 19,因此,这三个素数所对应的素数组:

7-2,7与7+4;

13-2,13与13+4;

19-2,19与19+4

都是三胞胎素数组。

这样,就求得了区间(5, 5^2)中的全部A类三胞胎素数。

又如当k=3时,设有方程组A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+3,解得A=13 与A=43。其中出现一个新的素数43,而<img alt="43。因此,43-2,43与43+4也是一组三胞胎素数。

又比如求解方程组A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+4,解得A=19,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算已经求得了区间(7,7^2)的全部A类三胞胎素数。

k=4时7m_{4}+17m_{4}+47m_{4}+57m_{4}+6
A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+34319310313
A=2m_{1}+1=3m_{2}+1=5m_{3}+416910919139

已经得到区间(11,11^2)的全部A类三胞胎素数

(二),B类三胞胎素数

对于B类的三胞胎素数,也可以用类似的结论:“若自然数B-4, B, B+2都不能被不大于.sqrt{B+2}任何素数整除,则B-4, BB+2都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

于是同样地,考虑按照从小到大的顺序:2,3,5,……排列的前k 个素数p_{1},p_{2},.dots,p_{k}。解方程:

B=p_{1}m_{1}+j_{1}=p_{2}m_{2}+j_{2}=.dots=p_{k}m_{k}+j_{k}.qquad .qquad .cdots .quad (3)

其中j_{i} .neq 0 j_{i} .neq 4j_{i} .neq p_{i} - 2

而如果<img alt="B,则B-4, BB+2是一组三胞胎素数。

我们可以把(3)式内容等价转换成为同余方程组表示:

B .equiv j_1 .pmod{p_1}, B .equiv j_2 .pmod{p_2}, .dots, B .equiv j_k .pmod{p_k} .qquad .qquad .cdots .quad  (4)

同样地,由于(4)式中的模p_{1}p_{2}、……、p_{k} 是素数,两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的j_{1}, j_{2}, .cdots , j_{k},(4)式在p_{1} p_{2} .cdots p_{k}范围内有唯一解。

B类三胞胎素数的例子

例如k=2时,B=2m_{1}+1=3m_{2}+2,解得B=11,17。这两个素数都满足<img alt="B的条件:<img alt="11, 17,因此我们得到两组B类三胞胎素数:

11-4,11与11+2;

17-4,17与17+2;

这样,就求得了区间(5, 5^2)中的全部B类三胞胎素数。

又比如当k=3时,解方程组B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1,解得B=11,41。这两个素数都满足<img alt="B的条件:<img alt="11, 41,因此我们得到一组新的B类三胞胎素数:

41-4,41与41+2。

而解方程组B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2,得B=17,也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2,可能的余数组合只有以上的两种,所以上面的计算 已经求得了区间(7, 7^2)的全部B类三胞胎素数。

k=4时7m_{4}+17m_{4}+27m_{4}+37m_{4}+6
B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+17119110141
B=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+219710717167

已经求得了区间(11, 11^2)的全部B类三胞胎素数。

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数,并且一个不漏地求得。

三,三胞胎素数猜想

有关孪生素数的一个著名猜想是:是否有无穷多个孪生素数?这个问题迄今尚未解决。同样的,有关于三胞胎素数的类似猜想:是否有无穷个三胞胎素数?由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数,解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。

四,参考文献

1,孪生质数公式,【中等数学】2000年1期:http://wenku.baidu.com/view/91a8386fbcd126fff7050b71.html

2,谈谈素数表达式【中等数学】1999年2期:http://wenku.baidu.com/view/6ed2fa222f60ddccda38a080.html

3,关于一个寻找素数方法的理论依据【中等数学】2001年4期:http://wenku.baidu.com/view/be003829647d27284b73518f.html


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